WordPressのupdateをWeb UIからできない問題が，ようやく解決しました．
結論から言うと，PHPのbuildの際に，明示的に–with-curlを付けないと，PHP-cURLが機能しないのです．Slackware的には，こんな感じです．
CFLAGS="-O2" ./configure \ --prefix=/usr --localstatedir=/var --sysconfdir=/etc \ --mandir=/usr/man --infodir=/usr/info --enable-shared \ --with-config-file-scan-dir=/etc/php \ --with-config-file-path=/etc/httpd \ --with-apxs2=/usr/sbin/apxs \ --enable-mbstring --with-gettext --with-mysql \ --with-mysqli \ --with-mcrypt --with-ldap \ --enable-calendar \ --with-zlib --with-gd --with-jpeg-dir=/usr/lib \ --with-curl \ --with-png-dir=/usr/lib --build=i486-slackware-linux
最初の頃は，–with-curlなしでも，WordPressは動いていたんですけど，いつの間にかPHPの仕様に変更があったようです．PHP5からって書いてあるサイトもありますが，私のところではずっと前からPHP5ですので，PHP5の途中，たぶん5.6の途中から，だと思います．